三维目标

1．知识与技能

(1)掌握平面的概念及表示．

(2)掌握平面的基本性质及作用．

(3)初步体会图形、符号、文字语言的相互转化．

2．过程与方法

(1)建立类比的思想，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性．

(2)结合具体实例掌握平面的三大公理，建立公理化思想，初步认识公理的作用．

(3)利用联想、化归等方法，引导学生找到平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系．

3．情感、态度与价值观

(1)逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力．

(2)培养学生的空间想象能力．

重点难点

重点：平面的概念及其表示，平面的基本性质——三大公理，注意它们的条件、结论、作用，图形、符号、文字语言的相互转化．

难点：平面的基本性质——三大公理，图形、符号、文字语言的相互转化．

重难点突破：以学生身边熟悉的物体(如桌面、黑板面等)为切入点，引导学生观察、思考、举例和互相交流，归纳出平面的概念；针对三个公理的学习，可引导学生多联系实际，发挥空间想象能力，教师多演示，让学生在思考训练中化解疑难点．

教学建议

本节课是由初中平面几何进入高中立体几何的第一课，也是高中立体几何模块中的理论基础，具有承上启下作用．由于  “平面的概念”及“三个公理”比较抽象，教学时，应遵循学生的认知规律，建议教师采用类比与实例相结合的教学方式，通过多媒体及实物模型将具体与抽象、感性与理性有机地结合在一起．同时强调“三个公理”所隐含的条件、结论及作用，并注意图形语言及符号语言的等价转化．

【问题导思】　

1．几何里的“平面”有边界吗？

【提示】　没有．

2．在几何里，用什么图形来表示平面？

【提示】　平行四边形．

1．平面的概念

生活中常见的如黑板面、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象．

几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的是无限延展的．

2．平面的画法

(1)通常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图2－1－1，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.

图2－1－1

(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

3．平面的表示法

如图①的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

【问题导思】　

　平面是由点组成的，直线也是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系如何表示？直线和平面呢？

【提示】　点和直线、平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示．直线和平面的位置关系可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．

　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

【问题导思】　

1．直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？

【提示】　前者不在，后者在．

2．观察下图，你能得出什么结论？

【提示】　不共线的三点可以确定一个平面．

3．观察正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁(如图所示)，平面ABCD与平面ABB₁A₁有且只有两个公共点A、B吗？

【提示】　不是．平面ABCD与平面ABB₁A₁相交于直线AB.

平面的基本性质

例1　用符号语言表示下列语句，并画出图形：

(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；

(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.

【思路探究】　根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．

【自主解答】　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示如图(1)：

(1)

(2)符号语言表示

平面ABD∩平面BDC＝BD，

平面ABC∩平面ADC＝AC.

图形表示如图(2)：

(2)

规律方法

1．解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”、“∉”、“⊂”、“⊄”、“∩”的意义．

2．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．

变式训练

根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

【解】　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1)．

(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2)．

(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3)．

例2　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．

【思路探究】　由a∥b可知a、b确定平面α，然后证明l⊂α.

【自主解答】　

如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．

规律方法

在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．

变式训练

直线a与b相交，直线c与a，b都相交，求证：a，b，c共面．

【证明】　∵直线

a与b相交，

∴直线a，b确定一个平面，设为α.

设c∩a＝A，c∩b＝B，

∴A∈a，B∈b，

∴A∈α，B∈α.

又∵A∈c，B∈c，

由公理1可知c⊂α，

∴a，b，c共面.

例3　如图2－1－2，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD₁、AA₁上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．

图2－1－2

【思路探究】　欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD₁和平面AC的交线DA上即可．

【自主解答】　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD₁A₁.

∴Q∈平面ADD₁A₁

又∵平面ABCD∩平面ADD₁A₁＝AD，

∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．

规律方法

点共线与线共点的证明方法：

(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．

(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．

变式训练

如图2－1－3所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且GC(BG)＝HC(DH)＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点．

图2－1－3

【证明】　∵E，F分别是AB，AD的中点，

∴EF∥BD且EF＝2(1)BD.

又∵GC(BG)＝HC(DH)＝2，

∴GH∥BD且GH＝3(1)BD，

∴EF∥GH且EF>GH，

∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，

设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，

∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，

∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，

又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，

∴P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点．

易错易误辨析

因混淆“平面”与“平面图形”两个概念致误

典例　下列说法正确的有________．

(1)平面就是平行四边形；

(2)任何一个平面图形都是一个平面；

(3)平静的太平洋面就是一个平面；

(4)圆和平面多边形都可以表示平面．

【错解】　(1)(2)(3)(4)

【错因分析】　上述求解错误的原因有以下两处：

(1)对“平面”的概念不理解．

(2)混淆“平面”与“平面图形”两个概念．

【防范措施】　对“平面”这个概念要从以下三个方面理解：

(1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)．

(2)“平面”无厚薄大小之分．

(3)“平面”无边界，可向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据．

【正解】　(1)错误，平行四边形可表示平面，反之不成立．(2)(3)错误，这与平面具有无限延展性相矛盾．(4)正确．

【答案】　(4)

课堂小结

1．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．

2．在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想．

当堂检测

1．下列说法：

①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；

③有一个平面的长是100 m，宽是90 m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．

其中正确的个数为(　　)

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

【解析】　①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．

【答案】　B

2．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(　　)

A．P∉α，Q∈α     B．P∈α，Q∉α

C．P∉α，Q∉α     D．Q∈α

【解析】　∵Q∈m，m⊂平面α，∴Q∈α，但无法判断P与平面α的关系．

【答案】　D

3．下列说法正确的是(　　)

A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

【解析】　A错误，不共线的三点可以确定一个平面．

B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

C错误，四边形不一定是平面图形．

D正确，两条相交直线可以确定一个平面．

【答案】　D

4．已知△ABC在平面α外，直线AB∩α＝P，直线AC∩α＝R，直线BC∩α＝Q，如图2－1－4.

图2－1－4

求证：P，Q，R三点共线．

【证明】　∵直线AB∩α＝P，

∴P∈AB，P∈平面α.

又∵AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.

则由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．

同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．

故P，Q，R三点共线于平面ABC与平面α的交线．