题型三 点共线、线共点、面共线问题  【探究1】 如图所示，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一条直线上.
证明 ∵AB∥CD， ∴AB，CD确定平面AC. ∵AD∩α＝H，∴H∈平面AC，H∈α， 由公理2可知，H必在平面AC与平面α的交线上. 同理F，G，E都在平面AC与平面α的交线上， 因此E，F，G，H必在同一条直线上. 【探究2】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证： (1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点. 证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面. (2)∵EF∥CD1，EF<CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P， 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， ∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点. 【探究3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由. 解 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F， ∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于 一点，设为P， 则P∈FD1，P∈AD. 又∵D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， ∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD. ∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)， 即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点， ∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线. 规律方法 (1)点共线与线共点的证明方法 ①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. ②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. (2)确定两平面的交线，关键是确定这两个平面的两个公共点.公理3是解决此类问题的主要依据. 练习1．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，F分别是CD和AD上的点，且EB＝FB＝1，HD＝GD＝2.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点． 证明 连接EF，GH，AC. 因为EB＝FB＝1，HD＝GD＝2， 所以EF∥AC，HG∥AC且EF≠HG， 所以EH，FG共面，且EH与FG不平行， 不妨设EH∩FG＝P， 则P∈EH，EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD；同理P∈平面BCD. 又因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点P. 练习2．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________． 解析 ∵AC∥BD， ∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD. ∵l∩α＝O，∴O∈α. 又∵O∈AB⊂β， ∴O∈直线CD， ∴O，C，D三点共线． 答案 共线
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